Arithmétique - Expert
Congruence
Exercice 1 : Calcul d'un jour de la semaine du calendrier grégorien (guidé)
On cherche par exemple à savoir quel sera le jour de la semaine le 15 juin 2823. On sait que le 15 juin 2018 est un vendredi.
Combien d'années séparent le 15 juin 2823 du 15 juin 2018 ?
Une année est définie comme le temps nécessaire à la Terre pour effectuer
une révolution autour du Soleil. Les physiciens ont quantifié cette durée
à environ 365,2425 jours. Il n'y a donc pas un nombre rond de semaines dans une année.
Pour prendre en compte ce décalage, on a introduit le principe d'année bissextile.
Une année bissextile compte, sur le calendrier tradionnel, 366 jours au lieu
des 365 jours d'une année classique.
On définit pour l'instant une année bissextile de la manière suivante :
une année est bissextile si l'année est divisible par 4.
Avec une telle définition, combien y a-t-il d'années bissextiles entre
le 15 juin 2823 et le 15 juin 2018 ?
En fait, cette correction est trop forte, et on doit sauter certaines années bissextiles
pour avoir une durée plus proche de la durée réelle.
Les règles sont les suivantes:
- L'année est bissextile si le nombre est divisible par 4.
- L'année n'est pas bissextile si le nombre est divisible par 100.
- L'année est bissextile si le nombre est divisible par 400.
Donner finalement le nombre réel d'années bissextiles entre le 15 juin 2823 et le 15 juin 2018.
Exercice 2 : Utilisation de la division euclidienne dans le numéro INSEE
Le numéro INSEE, aussi appelé numéro de Sécurité Sociale, est formé d'une suite
unique de 15 chiffres attribués pour chaque individu de nationalité française.
Ce numéro est ainsi déterminé :
- - 1 chiffre pour le sexe (\( 1 \) pour Homme et \( 2 \) pour Femme) ;
- - 2 chiffres correspondant aux deux derniers chiffres de l'année de naissance ;
- - 2 chiffres correspondant au mois de naissance ;
- - 2 chiffres correspondant au département de naissance ;
- - 3 chiffres correspondant à la commune de naissance ;
- - 3 chiffres correspondant au numéro d'inscription sur le registre des naissances ;
- - 2 chiffres correspondant à une clé de contrôle.
Pour calculer la clé de contrôle, on prend le nombre formé par les 13
premiers chiffres et on cherche son reste \( r \) dans la division par \( 97 \).
La clé est alors égale au nombre \( 97 - r \) écrit avec deux chiffres (le premier
étant éventuellement un 0).
On prend un personne au hasard dans la population. Son numéro de Sécurité Sociale, dont on a caché la clé de contrôle, est le suivant : \[ 1\:99\:11\:36\:168\:971\: \text{xx} \]
Qu'y a-t-il d'écrit normalement à la place de \( \text{xx} \) ?Dans un hôpital, un médecin se demande si son secrétaire n'aurait pas commis une erreur en recopiant le numéro INSEE de son patient : \[ 2\:85\:07\:22\:289\:024\:42 \]
Les doutes du médecin sont-ils justifiés ?Exercice 3 : Equation de congruence simple (une seule solution)
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
Exercice 4 : Déterminer l'inverse d'un nombre modulo n et l'utiliser pour résoudre une équation
On donnera la réponse sous une forme générale dépendant d'un entier relatif quelconque \(k\), par exemple : \(\left\{3k+2, k \in \mathbb{Z} \right\}\).
Exercice 5 : Équation de congruence (nombres autour de 10) - avec tableau des restes
On écrira par exemple : \(\left\{3k+2\ ;\ 6k+1, k \in \mathbb{Z}\right\}\).